高校数学問題と解説 数1 因数分解 全部できたら定期テスト満点レベル
今回は因数分解でも少しだけ難しい問題と取り上げていきたいと思います。
全部できたら定期テストは満点レベルでしょう
時間目安 40分 8問のセットとなっています。
合計得点も出ます
また問題に関する質問は当面の間、コメント欄で受け付けています。
第1問
\[ (x^2-x)^2-2(x^2-x)-24 \]を因数分解して下さい。
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この問題は\(x^2-x\)が共通になっているのでそれをAとおいて解いていきます。
すると
\((x^2-x)^2-2(x^2-x)-24\)
\(=(A^2-2A-24)\)
\(=(A+4)(A-6)\)
\(=(x^2-x-4)(x^2-x-6)\)
\(=(x^2-x+4)(x+2)(x-3)\)
\(x^2-x-6\)がまだ因数分解できることに注意しましょう。
第2問
\[ 4a^2-b^2-6bc-9c^2 \]を因数分解して下さい。
答え 解説を見る
\(4a^2-b^2-6bc-9c^2\)
\(=4a^2-(b^2+6bc+9c^2)\)
\(=(2a)^2-(b+3c)^2\)
\(=(2a+b+3c)(2a-b-3c)\)
\(-b^2-6bc-9c^2\)
=\(-(b^2+6bc+9c^2)\)
=\(-(b+3c)^2\)
になることに気が付けば解決に近づきます。
\(=4a^2-(b^2+6bc+9c^2)\)
\(=(2a)^2-(b+3c)^2\)
\(=(2a+b+3c)(2a-b-3c)\)
\(-b^2-6bc-9c^2\)
=\(-(b^2+6bc+9c^2)\)
=\(-(b+3c)^2\)
になることに気が付けば解決に近づきます。
第3問
\[ (x-y)^2+(y-z)^2 \]を因数分解して下さい。
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この問題は
\[ A^2+B^2=(A+B)(A^2-AB+B^2) \]の公式を用いて解いていきます。
ここでは
\(A=x-y B=y-z\)
なので \(( x-y)^2 +( y-z)^2\) \(=\{( x-y) +( y-z)\}\{( x-y)^2 -( x-y)( y-z) +( y-z)^2\}\) \(=( x-z)\{x^2 -2xy+y^2 -( xy-xz-y^2 +yz) +y^2 -2yz+z^2\}\) \(=( x-z)( x^2 -2xy+y^2 -xy+xz+y^2 -yz+y^2 -2yz+z^2)\) \(=( x-z)( x^2 +3y^2 +z^2 -3xy+xz-3yz)\)
第4問
\[ x^4-2x^2-8 \]を因数分解して下さい。
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\(x^2=A\)として考えます。
\(x^4 -2x^2 -8\)
\(=A^2 -2A-8\)
\(=( A+2)( A-4)\)
\(=( x^2 +2)( x^2 -4)\)
\(=( x^2 +2)( x+2)( x-2)\)
\(x^4 -2x^2 -8\)
\(=A^2 -2A-8\)
\(=( A+2)( A-4)\)
\(=( x^2 +2)( x^2 -4)\)
\(=( x^2 +2)( x+2)( x-2)\)
第5問
\[ 16a^4-b^4 \]を因数分解して下さい。
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\(16a^4 -b^4\)
\(=\{( 4a^2)\}^2 -( b^2)^2\)
\(=( 4a^2 +b)( 4a^2 -b^2)\)
\(=( 4a^2 +b)( 2a+b)( 2a-b)\)
\(16a^4=(4a^2)^2\)
\(b^4=(b^2)^2\)
なることに気付くかどうかが大事です。
\(=\{( 4a^2)\}^2 -( b^2)^2\)
\(=( 4a^2 +b)( 4a^2 -b^2)\)
\(=( 4a^2 +b)( 2a+b)( 2a-b)\)
\(16a^4=(4a^2)^2\)
\(b^4=(b^2)^2\)
なることに気付くかどうかが大事です。
第6問
\[ x^4 -17x^2 y^2 +16y^4 \]を因数分解して下さい。
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\(x^4 -17x^2 y^2 +16y^4\)
\(=( x^2)^2 -17x^2 y^2 +16( y^2)^2\)
\(=( x^2 -y^2)( x^2 -16y^2)\)
\(=( x+y)( x-y)( x+4y)( x-4y)\)
\(x^2 =A\)
\(y^2 =B\)
とおいて解くこともできます。
\(A^2 -17AB+B^2\)
\(=( A-B)( A-16B)\)
\(=( x^2 -y^2)( x^2 -16y^2)\)
\(=( x+y)( x-y)( x+4y)( x-4y)\)
\(=( x^2)^2 -17x^2 y^2 +16( y^2)^2\)
\(=( x^2 -y^2)( x^2 -16y^2)\)
\(=( x+y)( x-y)( x+4y)( x-4y)\)
\(x^2 =A\)
\(y^2 =B\)
とおいて解くこともできます。
\(A^2 -17AB+B^2\)
\(=( A-B)( A-16B)\)
\(=( x^2 -y^2)( x^2 -16y^2)\)
\(=( x+y)( x-y)( x+4y)( x-4y)\)
第7問
\[ x^2 y^2 +4xy+xy^2 +4+2y \]を因数分解して下さい。
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\(x^2 y^2 +4xy+xy^2 +4+2y\)
\(=x^2 y^2 +4xy+4+xy^2 +2y\)
\(=( xy)^2 +4xy+2^2 +y( xy+2)\)
\(=( xy+2)^2 +y( xy+2)\)
\(=( xy+2)( xy+2+y)\)
\(=( xy+2)( xy+y+2)\)
\(( xy)^2 +4xy+2^2\)
=\((xy+2)^2\)
となることに気付けたかどうかがポイントでしょう。
\(=x^2 y^2 +4xy+4+xy^2 +2y\)
\(=( xy)^2 +4xy+2^2 +y( xy+2)\)
\(=( xy+2)^2 +y( xy+2)\)
\(=( xy+2)( xy+2+y)\)
\(=( xy+2)( xy+y+2)\)
\(( xy)^2 +4xy+2^2\)
=\((xy+2)^2\)
となることに気付けたかどうかがポイントでしょう。
第8問
\[ x^2 y-x^2 +2xy-xy^2 -x-y^2 +y \]を因数分解して下さい。
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まずxについて整理して解いていきます。
\(x^2 y-x^2 +2xy-xy^2 -x-y^2 +y\)
\(=( y-1) x^2 +( 2y-y^2 -1) x-y( y-1)\)・・・①
ここでたすき掛けを利用します。
\(1 -y \longrightarrow -y^2+y\)
\(\times\)
\(y-1 y-1 \longrightarrow y-1\)
\(------------\)
\(y-1 -y(y-1) 2y-y^2-1\)
よって
①=\((x-y)\{x(y-1)+y-1)\}\)
\(=(x-y)(y-1)(x+1)\)
となります。
このレベルができると定期テストは満点レベルとなります。
相当難しかったのではないでしょうか。
