今回は二次関数の場合分けの基礎がわかる3問を用意しました。
繰り返しやりましょう。
合計得点も出ます
また問題に関する質問は当面の間、コメント欄で受け付けています。
第1問
\[
y=( x-a)^{2} でx\geqq 0の時の最小値を求めよ
\]
を計算して下さい
答え 解説を見る
二次関数
\begin{array}{l}
y=f( x) とおく\\
\\
1) a\geqq 0のとき\\
\\
x=aで最小値0をとる\\
\\
2) a< 0のとき\\
\\
x=0で最小値\\
\\
f( 0) =( 0-a)^{2}\\
=a^{2}\\
をとる\\
\\
答え a\geqq 0のとき x=aで最小値0\\
a< 0のとき x=0で最小値a^{2}
\end{array}
第2問
\[
\begin{array}{l}
0\leqq x\leqq aにおけるy=-x^{2} +5xについて\\
最大値、最小値を求めよ
\end{array}
\]
を計算して下さい
答え 解説を見る
二次関数
\begin{array}{l}
y=f( x) とおく\\
\\
f( x) =-x^{2} +5x\\
\\
=-\left( x^{2} -5x\right)\\
\\
=-\left\{\left( x-\frac{5}{2}\right)^{2} -\frac{25}{4}\right\}\\
\\
=-\left( x-\frac{5}{2}\right)^{2} +\frac{25}{4}\\
\\
最大値について場合分けする\\
1) 0< a< \frac{5}{2} のとき\\
\\
x=aで\\
最大値\\
f( a) =-a^{2} +5aをとる\\
\\
2) a\geqq \frac{5}{2} のとき\\
\\
x=\frac{5}{2} で\\
最大値\frac{25}{4} をとる\\
\\
最小値について場合分けする\\
\\
1) 0< a< 5のとき\\
x=0で\\
最小値0をとる\\
\\
2) a=5のとき\\
x=0,5で\\
最小値0をとる\\
\\
3) a >5のとき\\
x=aで\\
最小値f( a) =-a^{2} +5aをとる
\end{array}
第3問
\[
\begin{array}{l}
a\leqq x\leqq a+2のとき\\
f( x) =x^{2} -2x+4の最大値、最小値を求めよ
\end{array}
\]
を計算して下さい
答え 解説を見る
\begin{array}{l}
f( x) =x^{2} -2x+4\\
=( x-1)^{2} +3\\
\\
最大値について場合分けする\\
\\
最大値は定義域の半分\\
つまりaとa+2の半分\\
a+1を基準にして考える\\
\\
1) a+1< 1\\
すなわちa< 0のとき\\
x=aで最大値\\
f( a) =a^{2} -2x+4をとる\\
\\
2) a+1=1\\
すなわちa=0のとき\\
x=0,2で最大値\\
f( 0) =f( 2) =4をとる\\
\\
3) a+1 >1\\
すなわちa >0のとき\\
x=a+2で\\
最大値\\
f( a+2)\\
=( a+2-1)^{2} +3\\
=( a+1)^{2} +3\\
=a^{2} +2a+4をとる\\
\\
最小値について場合分けする\\
\\
1) a+2< 1\\
すなわちa< -1のとき\\
x=a+2で\\
最小値\\
f( a+2) =a^{2} +2a+4をとる\\
\\
2) a\leqq 1\leqq a+2\\
すわなち\\
-1\leqq a\leqq 1のとき\\
x=1で\\
最小値\\
f( 1) =3をとる\\
\\
3) a >1のとき\\
x=aで\\
最小値\\
f( a) =a^{2} +2a+4をとる
\end{array}
