平方根の有理化 上級者へ近づくための10問 問題と解説
今回は平方根の有理化の基礎問題が終わった方を対象に、上級者に近づくための10問を用意しました。
この10問をやりこめば平方根の有理化で困ることはまずないでしょう。
平方根√(ルート)の有理化の基礎が完璧になる12問 - かなこと仲良く数学、無料のオンライン学習塾
合計得点も出ます
また問題に関する質問は当面の間、コメント欄で受け付けています。
第1問
\[ \frac{1}{\sqrt{2\ } -\sqrt{3}} \]を計算して下さい
答え 解説を見る
\begin{array}{l}
\frac{1}{\sqrt{2\ } -\sqrt{3}}\\
下にルートがあれば有理化をしたいのですが\\事はそう単純ではありません。\\
( A+B)( A-B) =A^{2} -B^{2} \\の公式を使って下のルートを消していきます。\\
\\
上と下に\sqrt{2} +\sqrt{3} をかけます。\\
\\
\frac{\ \sqrt{2} +\sqrt{3}}{\left(\sqrt{2} \ -\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2} +\sqrt{3}\right)}\\
\\
=\frac{\sqrt{2} +\sqrt{3}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2} -\left(\sqrt{3}\right)^{2} \ \ }\\
\\
=\frac{\sqrt{2} +\sqrt{3}}{2-3}\\
\\
=-\left(\sqrt{2} +\sqrt{3}\right)\\
\\
=-\sqrt{2} -\sqrt{3}
\end{array}
第2問
\[ \frac{1}{\sqrt{5\ } +\sqrt{7}} \]を計算して下さい
答え 解説を見る
\begin{array}{l}
\frac{1}{\sqrt{5\ } +\sqrt{7}}\\
\\
上と下に\sqrt{5} -\sqrt{7} をかけます。\\
\\
=\frac{\ \sqrt{5} -\sqrt{7}}{\left(\sqrt{5} \ +\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{5} -\sqrt{7}\right)}\\
\\
=\frac{\sqrt{5} -\sqrt{7}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2} -\left(\sqrt{7}\right)^{2} \ \ }\\
\\
=\frac{\sqrt{5} -\sqrt{7}}{5-7\ \ }\\
\\
=-\frac{\sqrt{5} -\sqrt{7}}{2}
\end{array}
第3問
\[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2\ } +\sqrt{3}} \]を計算して下さい
答え 解説を見る
\begin{array}{l}
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2\ } +\sqrt{3}}\\
\\
上と下に\sqrt{2} -\sqrt{3} をかけます。\\
\\
=\frac{\sqrt{2}\left( \ \sqrt{2} -\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{2} \ +\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2} -\sqrt{3}\right)}\\
\\
=\frac{\sqrt{2} \times \sqrt{2} -\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2} -\left(\sqrt{3}\right)^{2} \ \ }\\
\\
=\frac{2-\sqrt{6}}{2-3}\\
\\
=-\left( 2-\sqrt{6}\right)\\
\\
=-2+\sqrt{6}
\end{array}
第4問
\[ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6\ } -\sqrt{3}} \]を計算して下さい
答え 解説を見る
\begin{array}{l}
\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6\ } -\sqrt{3}}\\
\\
上と下に\sqrt{6} +\sqrt{3} をかけます。\\
\\
＝\frac{\sqrt{5}\left( \ \sqrt{6} +\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{6} \ -\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{6} +\sqrt{3}\right)}\\
\\
=\frac{\sqrt{5} \times \sqrt{6} -\sqrt{5} \times \sqrt{3}}{\left(\sqrt{6}\right)^{2} -\left(\sqrt{3}\right)^{2} \ \ }\\
\\
=\frac{\sqrt{30} -\sqrt{15}}{6-3}\\
\\
=\frac{\sqrt{30} -\sqrt{15}}{3}
\end{array}
第5問
\[ \frac{\sqrt{2} -\sqrt{3}}{\sqrt{6\ } -\sqrt{3}} \]を計算して下さい
答え 解説を見る
\begin{array}{l}
\frac{\sqrt{2} -\sqrt{3}}{\sqrt{6\ } -\sqrt{3}}\\
\\
上と下に\sqrt{6} +\sqrt{3} をかけます。\\
\\
＝\frac{\left(\sqrt{2} -\sqrt{3}\right)\left( \ \sqrt{6} +\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{6} \ -\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{6} +\sqrt{3}\right)}\\
\\
=\frac{\sqrt{2} \times \sqrt{6} +\sqrt{2} \times \sqrt{3} -\sqrt{3} \times \sqrt{6} -\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{\left(\sqrt{6}\right)^{2} -\left(\sqrt{3}\right)^{2} \ \ }\\
\\
=\frac{\sqrt{12} +\sqrt{6} -\sqrt{18} -3}{6-3}\\
\\
=\frac{2\sqrt{3} +\sqrt{6} -3\sqrt{2} -3}{3}
\end{array}
第6問
\[ \frac{\sqrt{3} +\sqrt{2}}{\sqrt{3\ } -\sqrt{2}} \]を計算して下さい
答え 解説を見る
\begin{array}{l}
\frac{\sqrt{3} +\sqrt{2}}{\sqrt{3\ } -\sqrt{2}}\\
\\
上と下に\sqrt{3} +\sqrt{2} をかけます。\\
\\
＝\frac{\left(\sqrt{3} +\sqrt{2}\right)\left( \ \sqrt{3} +\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3} \ -\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3} +\sqrt{2}\right)}\\
\\
=\frac{\left(\sqrt{3} +\sqrt{2}\right)^{2}}{\left(\sqrt{3}\right)^{2} -\left(\sqrt{2}\right)^{2} \ \ }\\
\\
( A＋B)^{2} =A^{2} +2AB+B^{2} を使います。\\
\\
=\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2} +2\times \sqrt{3} \times \sqrt{2} +\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{3-2}\\
\\
=3+2\sqrt{6} +2\\
\\
=5+2\sqrt{6}
\end{array}
第7問
\[ \frac{\sqrt{3} +\sqrt{2}}{\sqrt{3\ } -2\sqrt{2}} \]を計算して下さい
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\begin{array}{l}
\frac{\sqrt{3} +\sqrt{2}}{\sqrt{3\ } -2\sqrt{2}}\\
\\
上と下に\sqrt{3} +2\sqrt{2} をかけます。\\
\\
＝\frac{\left(\sqrt{3} +\sqrt{2}\right)\left( \ \sqrt{3} +2\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3} \ -2\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3} +2\sqrt{2}\right)}\\
\\
=\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3} +\sqrt{3} \times 2\sqrt{2} +\sqrt{2} \times \sqrt{3} +\sqrt{2} \times 2\sqrt{2}}{\left(\sqrt{3}\right)^{2} -\left( 2\sqrt{2}\right)^{2} \ \ }\\
\\
=\frac{3+2\sqrt{6} +\sqrt{6} +4}{3-\left\{2^{2} \times \left(\sqrt{2}\right)^{2}\right\}}\\
\\
=\frac{7+3\sqrt{6}}{3-8}\\
\\
=-\frac{7+3\sqrt{6}}{5}
\end{array}
第8問
\[ \frac{\sqrt{3} +\sqrt{2}}{2\sqrt{3} -\sqrt{6}} \]を計算して下さい
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\begin{array}{l}
\frac{\sqrt{3} +\sqrt{2}}{2\sqrt{3} -\sqrt{6}}\\
\\
上と下に2\sqrt{3} +\sqrt{6} をかけます。\\
\\
＝\frac{\left(\sqrt{3} +\sqrt{2}\right)\left( 2\ \sqrt{3} +\sqrt{6}\right)}{\left( 2\sqrt{3} \ -\sqrt{6}\right)\left( 2\sqrt{3} +\sqrt{6}\right)}\\
\\
=\frac{\sqrt{3} \times 2\sqrt{3} +\sqrt{3} \times \sqrt{6} +\sqrt{2} \times 2\sqrt{3} +\sqrt{2} \times \sqrt{6}}{\left( 2\sqrt{3}\right)^{2} -\left(\sqrt{6}\right)^{2} \ \ }\\
\\
\\
=\frac{6+\sqrt{18} +2\sqrt{6} +\sqrt{12}}{12-6}\\
\\
=\frac{6+3\sqrt{2} +2\sqrt{6} +2\sqrt{3}}{6}
\end{array}
第9問
\[ \frac{2\sqrt{3} +1}{\ 3\sqrt{3} -2} \]を計算して下さい
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\begin{array}{l}
\frac{2\sqrt{3} +1}{\ 3\sqrt{3} -2}\\
\\
＝\frac{\left( 2\sqrt{3} +1\right)\left( 3\sqrt{3} -2\right)}{\left( 3\sqrt{3} \ -2\right)\left( 3\sqrt{3} +2\right)}\\
\\
=\frac{2\sqrt{3} \times 3\sqrt{3} -2\sqrt{3} \times 2+1\times 3\sqrt{3} -1\times 2}{\left( 3\sqrt{3}\right)^{2} -2^{2} \ \ }\\
\\
\\
=\frac{18-4\sqrt{3} +3\sqrt{3} -2}{27-4}\\
\\
=\frac{16-\sqrt{3}}{23}
\end{array}
第10問
\[ \frac{2\sqrt{2} +1}{\ \sqrt{8} -2} \]を計算して下さい
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\begin{array}{l}
\frac{2\sqrt{2} +1}{\ \sqrt{8} -2}\\
\\
まず\sqrt{8} を2\sqrt{2} にしてから有理化します。\\
\\
=＝\frac{\left( 2\sqrt{2} +1\right)\left( 2\sqrt{2} +2\right)}{\left( 2\sqrt{2} \ -2\right)\left( 2\sqrt{2} +2\right)}\\
\\
=\frac{2\sqrt{2} \times 2\sqrt{2} +2\sqrt{2} \times 2+1\times 2\sqrt{2} +1\times 2}{\left( 2\sqrt{2}\right)^{2} -2^{2} \ \ }\\
\\
=\frac{\ 8+4\sqrt{2} +2\sqrt{2} +2}{4\ }\\
\\
=\frac{10+6\sqrt{2}}{4\ }\\
\\
=\frac{5+3\sqrt{2}}{2\ }
\end{array}
