因数分解ハイレベル特訓　問題と詳しい解説 - 数学、無料のオンライン学習塾

今回は因数分解の中でも難しい問題を作成しました。

時間をかけてもいいので何回も反復していきましょう

時間目安　50分　7問のセットとなっています。

全部解けるようになったらトップレベルで戦えます。

合計得点も出ます

また問題に関する質問は当面の間、コメント欄で受け付けています。

第1問

\[ a^2 b+ab^2 +ab-a-b-1 \]

を因数分解して下さい。

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\(a^2 b+ab^2 +ab-a-b-1\)
\(=ba^2 +( b^2 +b-1)a-b-1\)

ここでたすき掛けを利用します。
\(1　　　　　b+1　\longrightarrow b(b+1)\)
　　　\(\times\)
\(b　　　　　　 -1　\longrightarrow -1\)
\(------------\)
\(b　　　 -(b+1)　　　b^2+b-1\)

よって
\(ba^2 +( b^2 +b-1)a-b-1\)
\(=( a+b+1)( ab-1)\)
となります。

第2問

\[ a^2( b+c) +b^2( c+a) +c^2( a+b) +2abc \]

を因数分解して下さい。

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\(a^2( b+c) +b^2( c+a) +c^2( a+b) +2abc\)
\(=( b+c) a^2 +( b^2 +c^2 +2bc) a+b^2 c+bc^2\)
\(=( b+c) a^2 +( b+c)^2 a+bc( b+c)\)
\(=( b+c)\{a^2 +( b+c) a+bc\} \)
\(=( b+c)( a+b)( a+c)\)

aについて整理した後\(b+c\)でくくれることに気付けば収束に近づきます。

第3問

\[ x^2 y-x^2 -xy-xy^2 +2x+2y^2 -2y \]

を因数分解して下さい。

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\(x^2 y-x^2 -xy-xy^2 +2x+2y^2 -2y\)
\(=( y-1) x^2 +( -y^2 -y+2) x+2y^2 -2y\)
\(=( y-1) x^2 -( y^2 +y-2) x+2y( y-1)\)
\(=( y-1) x^2 -( y-1)( y+2) x+2y( y-1)\)
\(=( y-1)\{x^2 -( y+2) x+2y\}\)
\(=( y-1)( x-2)( x-y)\)

\(x\)について整理した後\(y-1\)でくくれることに気付けば収束に近づきます。

第4問

\[ 64x^3 +8x^2 +6x+27 \]

を因数分解して下さい。

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\(64x^3 +8x^2 +6x+27\)
\(=64x^3 +27+8x^2 +6x\)
\(=( 4x+3)( 16x^2 -12x+9) +2x( 4x+3)\)
\(=( 4x+3)( 16x^2 -10x+9)\)

\(64x^3+27\)が\(A^3+B^3\)に形になっていることに気付けば収束に近づきます。

うまくいかない時は順番を並びかえてみましょう。

第5問

\[ a^3 +3ab+b^3 -1 \]

を因数分解して下さい。

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\(=a^3 +b^3 +3ab-1\)
\(=( a+b)^3 -3ab( a+b) +3ab-1\)
\(=( a+b)^3 -1-3ab( a+b) +3ab\)
\(=( a+b)^3 -1-3ab( a+b-1)\)
\(=( a+b)^3 -1^3 -3ab( a+b-1)\)
\(=( a+b-1)\{( a+b)^2 +( a+b) +1\} -3ab( a+b-1)\)
\(=( a+b-1)\{( a+b)^2 +( a+b) +1-3ab\}\)
\(=( a+b-1)( a^2 +b^2 -ab+a+b+1)\)

\(A^3+B^3=(A+B)^3-3AB(A+B)\)となる公式を使います。

\(( a+b)^3 -1^3\)が\(A^3-B^3\)の形になっていることもポイントです。

公式\(A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)\)を使います。

第6問

\[ ( x+2)( x+3)( x-3)( x-4) -40 \]

を因数分解して下さい。

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\(( x+2)( x+3)( x-3)( x-4) -40\)
\(=( x+2)( x-3)( x+3)( x-4) -40\)
\(=( x^2 -x-6)( x^2 -x-12) -40\)
\(=( x^2 -x)^2 -18( x^2 -x) +72-40\)
\(=( x^2 -x)^2 -18( x^2 -x) +32\)
\(=( x^2 -x-2)( x^2 -x-16)\)
\(=( x+1)( x-2)( x^2 -x-16)\)

並び変えて共通の\(x^2-x\)を作ることがポイントです。