公立高校入試対策第12回 相似の証明と整数問題
相似の証明と整数問題のセットです。
深夜にかけてまだ整数の問題を増やす予定です。
意外と大事なので
合計得点も出ます
また問題に関する質問は当面の間、コメント欄で受け付けています。
第1問
\[ \begin{array}{l} 三角形ABCと三角形CDBが相似になることを証明せよ\\ という問題があったとする\\ \\ まずすべきことは何ですか？ \end{array} \]答え 解説を見る
\begin{array}{l}
\vartriangle ABC∽ \vartriangle CDBになることを証明せよってことは\\
どことどこが対応するか答えを教えてくれている\\
のと同じです。\\
\\
つまり\\
\\
1\ 2\ \ 3\ \ \ \ \ \ 1\ \ 2\ \ 3\\
\vartriangle ABC∽ \vartriangle CDB\\
と番号を振ります。\\
\\
これで例えば1番と2番なら\\
辺の長さは\\
AB=CDになることがわかります。\\
\\
角度も同じです。\\
並んでる順番が大事です。\\
1→ ２→ ３の順番では\\
< ABC=< CDBになるはずです。\\
\\
２→ ３→ １なら\\
< BCA=< DBCになるはずです。
\end{array}
第2問
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第3問
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第4問
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\begin{array}{l}
\vartriangle ABCと\vartriangle CDBを改めてみます。\\
角度が2箇所同じですね。\\
\\
これで2つの対応する角度がそれぞれ等しいので\\
\vartriangle ABC∽\vartriangle CDBとなることを証明すればいいことが\\
わかります。\\
\\
< ABC=< CDB\\
( CD=CBより\vartriangle CDBは二等辺三角形なので)\\
< ACB=< CBD\\
( AB=ACより\vartriangle ABCは二等辺三角形なので)\\
\\
このように理由も書いておきます。\\
これで準備完了です。
\end{array}
第5問
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\begin{array}{l}
証明を書いていきます。\\
\\
[ 証明]\\
CD=CBより\vartriangle CDBは二等辺三角形なので\\
< ABC=< CDB\\
AB=ACより\vartriangle ABCは二等辺三角形なので\\
< ACB=< CBD\\
\\
よって△ABCと△CDBにおいて
\\2つの対応する角度がそれぞれ等しいので\\
\vartriangle ABC∽\vartriangle CDBとなることが証明された。\\
[ 証明終わり]\\
\\
となります。
\end{array}
では実際に入試問題を解いていきましょう。
いずれも公立の入試問題です
第6問
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第7問
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第8問
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第9問
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第10問
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第11問
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第12問
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第13問
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第14問
\[ y=\frac{4}{3} x+2でxの増加量が2のときのyの増加量を求めよ \]答え 解説を見る
\begin{array}{l}
変化の割合=\frac{4}{3} =\frac{yの増加量}{xの増加量} なので\\
\\
\frac{4}{3} ＝\frac{yの増加量}{2}\\
\\
よってyの増加量は\\
\\
\frac{4}{3} \times 2=\frac{8}{3}\\
\\
答え \frac{8}{3}
\end{array}
第15問
\[ y=\frac{7}{2} x+3でyの増加量が-2のときのxの増加量を求めよ \]答え 解説を見る
\begin{array}{l}
変化の割合=\frac{7}{2} =\frac{-2}{xの増加量} なので\\
\\
\frac{7}{2} ＝\frac{-2}{xの増加量}\\
\\
よってxの増加量は\\
\\
-2\times \frac{2}{7} =-\frac{4}{7}\\
\\
答え -\frac{4}{7}
\end{array}
第16問
\[ 半径3cmの球の表面積、体積を求めよ。 \]答え 解説を見る
\begin{array}{l}
忘れがちなので注意しましょう。\\
表面積はS=4π r^{2}\\
体積はV=\frac{4}{3} π r^{3} で求まります。\\
\\
S=4π \times 3^{2} =36π \left( cm^{2}\right)\\
V=\frac{4}{3} π \times 3^{3} =\frac{108π }{3}\left( cm^{3}\right)\\
\\
答え 表面積 36π \left( cm^{2}\right)\\
体積 \frac{108π }{3}\left( cm^{3}\right)
\end{array}
第17問
\[ 半径4cmの球の表面積、体積を求めよ。 \]答え 解説を見る
\begin{array}{l}
S=4π \times 4^{2} =64π \left( cm^{2}\right)\\
V=\frac{4}{3} π \times 4^{3} =\frac{256π }{3}\left( cm^{3}\right)\\
\\
答え 表面積 64π \left( cm^{2}\right)\\
体積 \frac{256π }{3}\left( cm^{3}\right)
\end{array}
第18問
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第19問
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第20問
\[ ( x-2)^{2} -3( x-2) -4を因数分解せよ \]答え 解説を見る
\begin{array}{l}
A=x-2とおく\\
A^{2} -3A-4\\
=( A+1)( A-4)\\
=( x-2+1)( x-2-4)\\
=( x-1)( x-6)
\end{array}
