公立高校入試対策第11回 問題と解説 色々なグラフの交点と面積、体積など

今回は比例、反比例や一次関数、二次関数などのグラフの交点の座標や グラフと面積、体積に関する問題がメインの20問セットとなっています

今回は20分以内で解けるまで繰り返し頑張っていきましょう！

合計得点も出ます

また問題に関する質問は当面の間、コメント欄で受け付けています。

第1問

\[ 点A,Bの座標をそれぞれ求めよ。 \]

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\begin{array}{l} y=xをy=\frac{15}{x} の交点の座標を求めます。\\ \\ 交点と言われたら連立方程式です。\\ \\ x=\frac{15}{x}\\ \\ 両辺にxをかけます。\\ \\ x^{2} =15\\ x=\pm \sqrt{15}\\ \\ それぞれy=xに代入してyを求めます。\\ x=\sqrt{15} のとき\\ y=\sqrt{15}\\ \\ y=-\sqrt{15} のとき\\ y=-\sqrt{15}\\ \\ よって\\ A\left(\sqrt{15} ,\sqrt{15}\right) 　B\left( -\sqrt{15} ,-\sqrt{15}\right) \end{array}

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第2問

\[ 点A,Bの座標をそれぞれ求めよ。 \]

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\begin{array}{l} y=-2xをy=-\frac{10}{x} の交点の座標を求めます。\\ \\ 交点と言われたら連立方程式です。\\ \\ -2x=-\frac{10}{x}\\ \\ 両辺にxをかけます。\\ \\ -2x^{2} =-10\\ x^{2} =5\\ x=\pm \sqrt{5}\\ \\ それぞれy=-2xに代入してyを求めます。\\ x=\sqrt{5} のとき\\ y=-2\sqrt{5}\\ \\ y=-\sqrt{5} のとき\\ y=2\sqrt{5}\\ \\ よって\\ A\left( -\sqrt{5} ,2\sqrt{5}\right) 　B\left(\sqrt{5} ,-2\sqrt{5}\right) \end{array}

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第3問

\[ 点Aの座標を求めよ。 \]

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\begin{array}{l} 今回はグラフの式をがわかってないので\\ まずグラフをの式を求めます。\\ \\ 比例の式はy=axで\\ ( 3,-3) を通るので\\ -3=a\times 3\\ a=-1\\ \\ よって比例の式は\\ y=-x\\ \\ 反比例の式はy=\frac{a}{x}\\ で( 3,-3) を通るので\\ -3=\frac{a}{3}\\ \\ a=-9\\ \\ よって反比例の式は\\ y=-\frac{9}{x}\\ \\ あとは交点なので連立方程式です。\\ \\ \begin{cases} y=-x & \\ y=-\frac{9}{x} & \end{cases}\\ \\ -x=-\frac{9}{x}\\ \\ x^{2} =9\\ x=\pm 3\\ \\ よってA( -3,3)\\ \\ 別解\\ グラフの対称性を利用する\\ \\ ( 3,-3) と点Aは原点において　\\ 点対称であるから\\ A( -3,3) \end{array}

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第4問

\[ \]

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\begin{array}{l} グラフの形に関係なく\\ 交点と言われたら連立方程式です。\\ \\ \begin{cases} y=-x+3 & \\ y=x+5 & \end{cases}\\ \\ -x+3=x+5\\ -2x=2\\ x=-1\\ \\ y=x+5に代入してyを求めます。\\ y=-1+5=4\\ \\ よって\\ A( -1,4) \end{array}

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第5問

\[ 点Aの座標を求めよ。 \]

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\begin{array}{l} グラフの形に関係なく\\ 交点と言われたら連立方程式です。\\ \\ \begin{cases} y=-2x+3 & \\ y=-\frac{1}{3} x-6 & \end{cases}\\ \\ -2x+3=\frac{1}{3} x-6\\ -2x-\frac{1}{3} x=-6-3\\ \\ -\frac{7}{3} x=-9\\ \\ x=\frac{27}{7}\\ \\ y=-2x+3に代入してyを求めます。\\ \\ y=-2\times \frac{27}{7} +3\\ \\ =-\frac{33}{7} \\ 答え　A\left(\frac{27}{7} ,-\frac{33}{7}\right) \end{array}

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第6問

\[ グラフ①②の式と点Aの座標を求めよ。 \]

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\begin{array}{l} 一次関数の式はy=ax+bで表せます。\\ \\ ①は切片が1なので\\ y=ax+1\\ これが( 1,0) を通っているので\\ 0=a+1\\ a=-1\\ \\ よって\\ ①の式はy=-x+1\\ \\ ②は切片が7なので\\ y=ax+7\\ これが( -7,0) を通っているので\\ 0=-7a+7\\ -7a+7=0\\ -7a=-7\\ a=1\\ \\ よって\\ ②の式はy=x+7\\ \\ 交点なので連立方程式です。\\ \begin{cases} y=-x+1 & \\ y=x+7 & \end{cases}\\ \\ -x+1=x+7\\ -2x=6\\ x=-3\\ \\ これをy=x+7に代入すると\\ y=-3+7=4\\ \\ よってA( -3,4) \end{array}

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第7問

\[ グラフ①②の式と点Aの座標を求めよ。 \]

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\begin{array}{l} ①の切片は2なので\\ ①の式をy=ax+2とおく\\ \\ これが( 2,0) を通るので\\ 0=2a+2\\ 2a+2=0\\ 2a=-2\\ a=-1\\ \\ よって①は\\ y=-x+2\\ \\ ②の切片は5なので\\ ②の式をy=ax+5とおく\\ \\ これが( -6,3) を通るので\\ 3=-6a+5\\ -6a+5=3\\ -6a=-2\\ a=\frac{1}{3}\\ \\ よって②は\\ y=\frac{1}{3} x+5\\ \\ 交点なので連立方程式です。\\ \begin{cases} y=-x+2 & \\ y=\frac{1}{3} x+5 & \end{cases}\\ \\ -x+2=\frac{1}{3} x+5\\ \\ -\frac{4}{3} x=3\\ \\ x=-\frac{9}{4}\\ \\ これをy=-x+2に代入\\ \\ y=-\left( -\frac{9}{4}\right) +2\\ \\ =\frac{17}{4}\\ \\ よって\\ A\left( -\frac{9}{4} ,\frac{17}{4}\right)\\ \end{array}

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第8問

\[ 点A,Bの座標を求めよ。 \]

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\begin{array}{l} y=x^{2} なので\\ 点Bのx座標2を代入してy座標を求める\\ \\ y=2^{2} =4\\ \\ よってB( 2,4)\\ \\ AはBとy軸に対して対称なので\\ A( -2,4)\\ となる。\\ \\ ( x座標の符号が変わって\\ y座標は変わらない）\\ \\ 答え　A( -2,4) 　B( 2,4) \end{array}

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第9問

\[ 点Aの座標を求めよ。 \]

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\begin{array}{l} 二次関数の式はy=ax^{2} で表されます。\\ これが( 3,-9) を通るので\\ \\ -9=a\times 3^{2}\\ 9a=-9\\ a=-1\\ \\ よってグラフの式は\\ y=-x^{2}\\ \\ 点Aのx座標が-1なので\\ y=-( -1)^{2}\\ =-1\\ \\ よって\\ A( -1,-1)\\ \\ 答え　A( -1,-1) \end{array}

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第10問

\[ 点A,Bの座標を求めよ。 \]

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\begin{array}{l} 交点なので連立方程式です。\\ \\ \begin{cases} y=x^{2} & \\ y=x+6 & \end{cases}\\ \\ x^{2} =x+6\\ x^{2} -x-6=0\\ ( x+2)( x-3) =0\\ \\ x=-2.3\\ \\ それぞれy=x^{2} に代入してy座標を求める。\\ \\ x=-2のとき\\ y=4\\ \\ x=3のとき\\ y=9\\ \\ 答え　A( 3,9) 　B( -2,4) \end{array}

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第11問

\[ 点A,Bの座標を求めよ。 \]

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\begin{array}{l} 交点なので連立方程式です。\\ \\ \begin{cases} y=\frac{1}{2} x^{2} & \\ y=-x+4 & \end{cases}\\ \\ \frac{1}{2} x^{2} =-x+4\\ \\ 両辺2倍します。\\ \\ x^{2} =-2x+8\\ x^{2} +2x-8=0\\ ( x-2)( x+4) =0\\ x=2,-4\\ \\ \\ それぞれy=-x+4に代入してy座標を求める。\\ \\ x=2のとき\\ y=2\\ \\ x=-4のとき\\ y=8\\ \\ 答え　A( -4,8) 　B( 2,2) \end{array}

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第12問

\[ 点Aの座標を求めよ。 \]

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\begin{array}{l} 二次関数の式はy=ax^{2}\\ \\ これが( 2,2) を通っているので\\ 2=a\times 2^{2}\\ 4a=2\\ a=\frac{1}{2}\\ \\ よって二次関数の式はy=\frac{1}{2} x^{2}\\ \\ 一次関数の式はy=ax+b\\ 切片が3なので\\ y=ax+3\\ \\ これが( 2,2) を通るので\\ 2=2a+3\\ 2a=-1\\ a=-\frac{1}{2}\\ \\ よって一次関数の式はy=-\frac{1}{2} x+3\\ \\ 連立方程式でAの座標を求める。\\ \\ \begin{cases} y=\frac{1}{2} x^{2} & \\ y=-\frac{1}{2} x+3 & \end{cases}\\ \\ \frac{1}{2} x^{2} =-\frac{1}{2} x+3\\ 両辺2倍します。\\ \\ x^{2} =-x+6\\ x^{2} +x-6=0\\ ( x-2)( x+3) =0\\ x=2,-3\\ \\ それぞれy=\frac{1}{2} x^{2} に代入してy座標を求める。\\ \\ x=2のとき\\ y=2\\ \\ x=-3のとき\\ y=\frac{9}{2}\\ \\ よってA\left( -3,\frac{9}{2}\right)\\ \\ 答え　A\left( -3,\frac{9}{2}\right) \end{array}

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第13問

\[ 点A,Bの座標をそれぞれ求めよ。 \]

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\begin{array}{l} 二次関数の式はy=ax^{2}\\ \\ これが( 3,-9) を通るので\\ -9=a\times 3^{2}\\ 9a=-9\\ a=-1\\ \\ よって二次関数の式はy=-x^{2}\\ \\ 一次関数の式はy=ax+b\\ 切片が-3なので\\ y=ax-3\\ \\ これが( 3,0) を通るので\\ 0=3a-3\\ 3a=3\\ a=1\\ \\ よって一次関数の式はy=x-3\\ \\ 連立方程式でAの座標を求める。\\ \\ \begin{cases} y=-x^{2} & \\ y=x-3 & \end{cases}\\ \\ -x^{2} =x-3\\ -x^{2} -x+3=0\\ 両辺に-1をかけます\\ \\ x^{2} +x-3=0\\ 因数分解できないときは\\ 解の公式を使います。\\ \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{1^{2} -4\times 1\times ( -3)}}{-2}\\ \\ =\frac{-1\pm \sqrt{1+12}}{2}\\ \\ =\frac{-1\pm \sqrt{13}}{2}\\ \\ これをy=x-3に代入してyを求めます。\\ \\ x=\frac{-1+\sqrt{13}}{2} のとき\\ \\ y=\frac{-1+\sqrt{13}}{2} -\frac{6}{2}\\ \\ \\ =\frac{-7+\sqrt{13}}{2}\\ \\ x=\frac{-1-\sqrt{13}}{2} のとき\\ \\ y=\frac{-1-\sqrt{13}}{2} -\frac{6}{2}\\ \\ =\frac{-7-\sqrt{13}}{2}\\ \\ よって\\ A\left(\frac{-1+\sqrt{13}}{2} ,\frac{-7+\sqrt{13}}{2}\right)\\ \\ B\left(\frac{-1-\sqrt{13}}{2} ,\frac{-7-\sqrt{13}}{2}\right)\\ \\ 答え\\ A\left(\frac{-1+\sqrt{13}}{2} ,\frac{-7+\sqrt{13}}{2}\right)\\ \\ B\left(\frac{-1-\sqrt{13}}{2} ,\frac{-7-\sqrt{13}}{2}\right)\\ \\ \end{array}

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第14問

\[ 三角形OABの面積と,それをy軸を中心として\\ 回転させたときにできる立体の体積を求めよ。 \]

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\begin{array}{l} 点Aのy座標は4なので\\ OA=4\\ \\ 点Bのy座標は0なので\\ これをy=-2x+4に代入してx座標を求める。\\ \\ 0=-2x+4\\ -2x+4=0\\ -2x=-4\\ x=2\\ \\ よってB( 2,0)\\ \\ 従って\\ OB=2\\ \\ \vartriangle OAB=2\times 4\times \frac{1}{2}\\ =4\\ \\ 回転させた時にできる立体は\\ 図のような円錐になるので\\ \\ 円錐の体積=円の面積\times 高さ\times \frac{1}{3}\\ \\ =2\times 2\times π \times 4\times \frac{1}{3}\\ \\ =\frac{16π }{3}\\ \\ 答え\\ 面積　4\\ 体積　\frac{16π }{3} \end{array}

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第15問

\[ 図の斜線部分の面積を求めよ。 \]

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\begin{array}{l} A,B,Dの座標は\\ A( 0,2)\\ B( 0,5)\\ D( 5,0)\\ \\ Cの座標は交点なので\\ 連立方程式で求める。\\ \\ \begin{cases} y=-x+5 & \\ y=2x+2 & \end{cases}\\ \\ -x+5=2x+2\\ -3x=-3\\ x=1\\ \\ よって\\ C( 1,4)\\ \\ 求める面積は\\ \vartriangle ODB-\vartriangle ABC\\ で求める\\ \\ \vartriangle ODB＝5\times 5\times \frac{1}{2} =\frac{25}{2}\\ \\ \vartriangle ABC=3\times 1\times \frac{1}{2} =\frac{3}{2}\\ \\ よって求める面積は\\ \\ \frac{25}{2} -\frac{3}{2} =\frac{22}{2} =11\\ \\ \\ 答え　11 \end{array}

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第16問

\[ 図の斜線部分の面積をそれぞれ求めよ。 \]

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\begin{array}{l} A,C,Dの座標は\\ A( 0,2)\\ C( 0,5)\\ D( 1,0)\\ \\ Bの座標は交点なので\\ 連立方程式で求める。\\ \\ \begin{cases} y=\frac{1}{2} x+5 & \\ y=-2x+2 & \end{cases}\\ \\ \frac{1}{2} x+5=-2x+2\\ \\ \frac{5}{2} x=-3\\ \\ x=-\frac{6}{5}\\ \\ これをy=-2x+2に代入してyを求める。\\ \\ y=\frac{12}{5} +2\\ =\frac{22}{5}\\ \\ よって\\ B\left( -\frac{6}{5} ,\frac{22}{5}\right)\\ \\ \\ \vartriangle OAD＝1\times 2\times \frac{1}{2} =1\\ \\ \vartriangle ABC＝3\times \frac{6}{5} \times \frac{1}{2} =\frac{9}{5}\\ \\ \\ 答え　\\ \vartriangle OAD　1\\ \vartriangle ABC　\frac{9}{5} \end{array}

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第17問

\[ x^{2} -17+16=0を解け \]

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\begin{array}{l} ( x-1)( x-16) =0\\ x=1,16 \end{array}

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第18問

\[ 4<\sqrt{a}<5を満たす整数aは何個あるか \]

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\begin{array}{l} 4=\sqrt{16}\\ 5=\sqrt{25}\\ なので\\ \\ a=17,18,19,20・・・24の\\ \\ 24-17+1=8個となります。\\ \\ 答え　8個 \end{array}

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第19問

\[ V=\frac{1}{3} r^{2} hπ をhの式で表せ \]

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\begin{array}{l} 両辺を3倍します。\\ 3V=r^{2} hπ \\ \\ h=\frac{3V}{r^{2}π } \end{array}

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第20問

\[ 23は素数か？ \]

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\begin{array}{l} 23は1と23でしか割り切れないので素数です。 答え　素数 \end{array}

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