二重根号が完璧に理解できる10問　問題と解説 - 数学、無料のオンライン学習塾

今回は平方根の計算の二重根号に関する問題を10題用意しました。詳しい解説があるので、この問題をすることで二重根号が完璧に理解できます。

合計得点も出ます

また問題に関する質問は当面の間、コメント欄で受け付けています。

第1問

\[ \sqrt{7+2\sqrt{6} \ } \]

を計算して下さい

答え　解説を見る

\begin{array}{l} \sqrt{7+2\sqrt{6} \ }\\ \\ 二重根号を外す時は\\ \sqrt{( \ \ \ \ )^{2}} の形にします。\\ \\ つまり\\ \\ \sqrt{(\sqrt{A} \ +\sqrt{B} \ })^{2}\\ \\ ＝\sqrt{\left(\sqrt{A} \ \right)^{2} +\left(\sqrt{B} \ \right)^{2} +2\sqrt{AB} \ }\\ \\ の形にすればいいのです。\\ \\ 実際の解き方は簡単です。\\ \\ \sqrt{7+2\sqrt{6} \ }\\ \\ 足して7掛けて6になるものを探します。\\ \\ =\sqrt{(\sqrt{6} +\sqrt{1}})^{2}\\ \\ ＝\sqrt{6} +1\\ \\ となります。 \end{array}

第2問

\[ \sqrt{8+2\sqrt{12} \ } \]

を計算して下さい

答え　解説を見る

\begin{array}{l} \sqrt{8+2\sqrt{12} \ }\\ \\ 足して8掛けて12になるものを探します。\\ \\ =\sqrt{(\sqrt{2} +\sqrt{6}})^{2}\\ \\ ＝\sqrt{2} +\sqrt{6}\\ \\ となります。 \end{array}

第3問

\[ \sqrt{9+2\sqrt{14} \ } \]

を計算して下さい

答え　解説を見る

\begin{array}{l} \sqrt{9+2\sqrt{14} \ }\\ \\ 足して9掛けて14になるものを探します。\\ \\ =\sqrt{(\sqrt{2} +\sqrt{7}})^{2}\\ \\ ＝\sqrt{2} +\sqrt{7}\\ \\ となります。 \end{array}

第4問

\[ \sqrt{7+4\sqrt{3} \ } \]

を計算して下さい

答え　解説を見る

\begin{array}{l} \sqrt{7+4\sqrt{3} \ }\\ \\ この場合は\\ \\ 4\sqrt{3} =2\sqrt{〇} の形になおします。\\ \\ 4\sqrt{3} =2\sqrt{12} としてから計算します。\\ \\ よって\\ \\ \sqrt{7+4\sqrt{3} \ }\\ \\ =\sqrt{7+2\sqrt{12} \ }\\ \\ 足して7掛けて12になるものを探します。\\ \\ =\sqrt{(\sqrt{3} +\sqrt{4}})^{2}\\ \\ ＝\sqrt{3} +\sqrt{4}\\ \\ =\sqrt{3} +2\\ \\ となります。\\ \end{array}

第5問

\[ \sqrt{4+\sqrt{15} \ } \]

を計算して下さい

答え　解説を見る

\begin{array}{l} \sqrt{4+\sqrt{15} \ }\\ \\ \sqrt{15} =2\sqrt{〇} の形になおします。\\ \\ \sqrt{15} =2\frac{\sqrt{15}}{2} としてから計算します。\\ \\ よって\\ \\ \sqrt{4+\sqrt{15} \ }\\ \\ =\sqrt{4+2\frac{\sqrt{15}}{2}}\\ \\ =\sqrt{\ \frac{8+2\sqrt{15}}{2}}\\ \\ \\ 足して8掛けて15になるものを探します。\\ \\ =\frac{\sqrt{3} +\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\\ \\ 上下に\sqrt{2} をかけて有理化をします。\\ \\ \\ ＝\frac{\left(\sqrt{3} +\sqrt{5}\right) \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}\\ \\ =\frac{\sqrt{6} +\sqrt{10}}{2} \end{array}

第6問

\[ \sqrt{13+\sqrt{25} \ } \]

を計算して下さい

答え　解説を見る

\begin{array}{l} \sqrt{13+\sqrt{25} \ }\\ \\ \sqrt{25} =2\sqrt{〇} の形になおします。\\ \\ \sqrt{25} =2\frac{\sqrt{25}}{2} としてから計算します。\\ \\ よって\\ \\ \sqrt{13+\sqrt{25} \ }\\ \\ =\sqrt{13+2\frac{\sqrt{25}}{2}}\\ \\ =\sqrt{\ \frac{26+2\sqrt{25}}{2}}\\ \\ \\ 足して26掛けて25になるものを探します。\\ \\ =\frac{\sqrt{25} +\sqrt{1}}{\sqrt{2}}\\ \\ 上下に\sqrt{2} をかけて有理化をします。\\ \\ \\ ＝\frac{\left(\sqrt{25} +1\right) \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}\\ \\ =\frac{\sqrt{50} +\sqrt{2}}{2}\\ \\ =\frac{5\sqrt{2} +\sqrt{2}}{2}\\ \\ =\frac{6\sqrt{2}}{2}\\ \\ =3\sqrt{2} \end{array}

第7問

\[ \sqrt{6-\sqrt{32} \ } \]

を計算して下さい

答え　解説を見る

\begin{array}{l} \sqrt{6-\sqrt{32} \ }\\ \\ =\sqrt{6-2\sqrt{8} \ }\\ \\ とにかく2\sqrt{〇} の形を作ります。\\ \\ 足して6掛けて8になるものを探します。\\ \\ ただし－の場合は注意が必要です。\\ \\ \sqrt{} の中は＋にならないといけないので\\ \\ \times 　\sqrt{2} -\sqrt{4} \ < 0\\ \\ 〇\ \ \ \ \sqrt{4} -\sqrt{2} \ \ >0\\ \\ となります。\\ \\ よって\\ \\ \sqrt{6-2\sqrt{8} \ }\\ \\ ＝\sqrt{4} -\sqrt{2}\\ \\ ＝2-\sqrt{2}\\ \\ となります。 \end{array}

第8問

\[ \sqrt{8-2\sqrt{12} \ } \]

を計算して下さい

答え　解説を見る

\begin{array}{l} \sqrt{8-2\sqrt{12} \ }\\ \\ 足して8掛けて12になるものを探します。\\ \\ これも－なので注意が必要です。\\ \\ \sqrt{} の中は＋にならないといけないので\\ \\ \times 　\sqrt{2} -\sqrt{6} \ < 0\\ \\ 〇\ \ \ \ \sqrt{6} -\sqrt{2} \ \ >0\\ \\ となります。\\ \\ よって\\ \\ \sqrt{8-2\sqrt{12} \ }\\ \\ ＝\sqrt{6} -\sqrt{2}\\ \\ となります。\\ \end{array}

第9問

\[ \sqrt{5-\sqrt{21} \ } \]

を計算して下さい

答え　解説を見る

\begin{array}{l} \sqrt{5-\sqrt{21} \ }\\ \\ ＝=\sqrt{5-2\frac{\sqrt{21}}{2}}\\ \\ =\sqrt{\ \frac{10-2\sqrt{21}}{2}}\\ \\ =\frac{\sqrt{7} -\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\ \\ =\frac{\left(\sqrt{7} -\sqrt{3}\right) \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}\\ \\ =\frac{\sqrt{14} -\sqrt{6}}{2} \end{array}